Distancia de Gower

La distancia de Gower es un coeficiente de similaridad que se basa en diferentes tipos de información de \(n\) variables para medir las semejanzas entre dos individuos. Como la similaridad no es algo que pueda medirse directamente, es necesario transformarla en distancias para así, construir una matriz de similitud. El indice de Gower es un coeficiente que combina diferentes tipos de descriptores y los procesa de acuerdo com su tipo matemático propio. Generalmente, para calcular esa distancia, se utilizan indices binarios así: dos individuos son comparados en una de las variables y se le asigna una puntuación, 0 cuando ellos son considerados como diferentes y 1 cuando tienen algún grado de similitud, para mayor detalle vea [1].

Algoritmo PAM

Partitioning Around Medoids (PAM) fue propuesto por \([2]\) como un método de agrupamiento que mapea desde cualquier métrica de distancia a un número especifico de clúster. El algoritmo se basa en la búsqueda de \(k\) objetos representativos entre los objetos del conjunto de datos, donde, en lugar de utilizar un centroide convencional, PAM utiliza medoides para representar los grupos. Después de encontrar un conjunto de \(k\) objetos representativos, los \(k\) cluster se construyen asignando cada objeto del conjunto de datos al objeto representativo más cercano. A partir de ahí, se determina un nuevo medoide que puede representar mejor al grupo. Todos los elementos de datos restantes se asignan una vez más a los grupos que tienen el medoide más cercano. En cada iteración, los medoides alteran su ubicación. El método minimiza la suma de las diferencias entre cada elemento de datos y su medoide correspondiente. Este ciclo se repite hasta que ningún medoide cambia su ubicación \([2][3][4]\). Para ilustrar esta metodología vamos a utilizar un conjunto de datos publicado en el repositorio de UCI Machine Learning. Este conjunto de datos trata sobre los niveles de obesidad en individuos de México, Perú y Colombia, con base en sus hábitos alimenticios y condición física. En la tabla a continuación mostramos su estructura:

La pregunta que inicialmente nos hacemos es cuántos cluster debemos construir? Pues bien, actualmente existen diferentes métodos para evaluar los resultados en un análisis de clúster, por ejemplo densidad, cohesión, separación y radio de los cluster formados. En este post vamos a usar el coeficiente de silueta para evaluar la calidad del agrupamiento obtenido y decidir cuántos agrupamiento realizar.

El gráfico del coeficiente de silueta nos sugiere decidir entre 2 y 8 cluster, sin embargo, con fines ilustrativos vamos a construir 4 agrupamientos. En el gráfico a seguir podemos ver una representación de los 4 clúster.

Finalmente podemos hacer un resumen de cada clúster

Referencias

[1] Gower J, 1971, A General Coefficient of Similarity and Some of Its Properties, Biometrics, Vol. 27, No. 4, pp. 857-871.

[2] Kaufman L, Rousseeuw P, 1990, Finding groups in data: an introduction to cluster analysis. John Wiley & Sons.

[3] Aruna B, 2014, K-medoids clustering using partitioning around medoids for performing face recognition, International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control, Vol. 3, No. 3.

[4] Van der Laan M, Pollard K and Bryan J, 2003, A new partitioning around medoids algorithm, Journal of Statistical Computation and Simulation, Vol. 73, No. 8.